Căn phòng yên tĩnh đến mức chỉ còn nghe thấy tiếng ngòi bút sột soạt trên mặt giấy.
Ánh nắng ngoài cửa sổ hơi chói mắt, Lộ Dao kéo rèm lại một nửa, rồi quay người viết hai chữ lên cuốn sổ — [Đại số cao cấp].
"Đàn em à, nếu em muốn tìm hiểu hệ thống môn học của khoa Toán đại học, thì chúng ta phải bắt đầu từ môn này."
Một khi đã quyết định giảng, Lộ Dao liền lấy ra mười hai phần thái độ chuyên nghiệp.
"Đại số cao cấp và Giải tích toán học chính là hai ngọn núi lớn của sinh viên năm nhất bọn chị."
"Cái môn vi tích phân mà em muốn học thực ra chỉ là một phần của Giải tích toán học thôi, còn Đại số cao cấp thì đi sâu vào biến đổi không gian."
"Ví dụ nhé, định nghĩa về không gian tuyến tính này, biến đổi cơ sở và biến đổi tọa độ này, những cái đó thực ra chính là nền tảng của Đại số cao cấp."
Lộ Dao vừa nói, vừa liệt kê vài khái niệm cốt lõi ra giấy.
"Mà trong đó có một điểm khó, chính là mở rộng hệ độc lập tuyến tính tối đại, em hiểu không?"
Lý Đông nhìn khái niệm đó, kết hợp với đống tài liệu tham khảo hắn từng đọc khi tự học cuốn "Tân giảng Giải tích toán học" trước đây, liền vô thức gật đầu.
"Hiểu ạ, chính là hạng của hệ vectơ mà."
Lộ Dao sững người. Tuy hai cái là một, nhưng học sinh cấp ba mà phản ứng nhanh thế sao?
"Được, vậy chúng ta tiếp tục."
"Tiếp theo là biểu diễn ma trận của biến đổi tuyến tính, đây là trọng tâm của học kỳ hai năm nhất."
"Phần này liên quan đến giá trị riêng và vectơ riêng, còn có cả chéo hóa ma trận..."
"Hiểu ạ." Lý Đông lại gật đầu.
"Nghiệm của đa thức đặc trưng chứ gì."
Lộ Dao: "..."
Cô hít sâu một hơi, tay cầm bút vô thức siết chặt thêm vài phần.
"Được, vậy chúng ta nói sâu hơn chút nhé. Nếu là không gian tuyến tính trên trường số phức, liên quan đến dạng chuẩn Jordan thì sao?"
"Hiểu ạ, ước số sơ cấp và ước số bất biến."
"Thế biến đổi trực giao trong không gian Euclid thì sao?"
"Hiểu ạ, là biến đổi giữ nguyên tích vô hướng."
"Dạng song tuyến tính?"
"Hiểu ạ."
...
Nửa tiếng sau.
Lộ Dao cảm thấy mình sắp phát điên đến nơi rồi.
Cô vốn định cho cậu đàn em này thấy thế giới toán học bao la rộng lớn đến nhường nào.
Kết quả thì sao?
Cô cảm thấy mình cứ như một hướng dẫn viên du lịch, vừa chỉ vào một ngọn núi bảo "núi này khó leo lắm", thì Lý Đông đã đứng tít trên đỉnh núi hô "ngọn tiếp theo".
Còn từng tiếng "hiểu ạ" của Lý Đông cứ như đang phản dame thẳng mặt cô vậy.
Thế này á? Chỉ thế này thôi á?
"Em... em thật sự hiểu hết rồi sao?"
Trong lòng Lộ Dao có một vạn cái không muốn tin.
"Vâng, đại khái logic đều đã được sắp xếp thông suốt rồi ạ."
Lý Đông nhìn cô với vẻ mặt đầy sùng bái.
"Đàn chị giảng hay thật đấy, rõ ràng hơn nhiều so với mấy cái định nghĩa rắc rối trong sách."
Trước đây hắn tự học, các điểm kiến thức thực ra hơi lộn xộn. Nếu không phải nhờ điểm thuộc tính logic +0.1, hắn đã chẳng thể xâu chuỗi nhiều thứ lại với nhau được.
Còn việc Lộ Dao làm bây giờ, chính là đưa cho hắn một sợi dây, xâu chuỗi toàn bộ những kiến thức đó lại.
Thế nên Lý Đông hoàn toàn nói thật.
Nhưng lọt vào tai Lộ Dao, nghe nó lại sặc mùi Versailles.
"Được, vậy chị phải xem xem em là hiểu thật hay giả vờ hiểu!"Lộ Dao bắt đầu cáu rồi.
Cô chẳng thèm tuần tự từng bước nữa, bỏ qua luôn mấy môn cơ bản của năm nhất, năm hai, nhắm thẳng vào môn chuyên ngành năm ba — "Hàm thực biến".
Dân tình vẫn hay bảo "Hàm thực biến phải học mười bận mới qua", độ khó của nó thì khỏi phải bàn.
"Vậy em nghe cho rõ đây."
Dáng vẻ Lộ Dao lúc này trông hung dữ đáng yêu cực kỳ.
"Em nói chị nghe, tập Cantor ba phần là gì? Số đo của nó là bao nhiêu?"
Lý Đông buột miệng đáp luôn:
"Khoảng đóng [0, 1] bỏ đi một phần ba ở giữa, lặp lại liên tục, số đo bằng 0, nhưng lực lượng là c (lực lượng continuum), là một tập hợp không đếm được."
Lộ Dao trợn tròn mắt.
"Vậy... em nói tiếp về sự khác biệt giữa tích phân Lebesgue và tích phân Riemann xem nào?"
"Riemann thì mình cắt dọc, còn Lebesgue thì cắt ngang, thế nên Lebesgue mới xử lý được nhiều loại hàm hơn, ví dụ như hàm Dirichlet."
Lý Đông vẫn đáp lại với vẻ cực kỳ chắc chắn.
"Suỵt..."
Lộ Dao hít một ngụm khí lạnh.
Trong đầu nảy ra một suy nghĩ giống hệt Lão Dương.
Thằng nhóc này là quái vật à?
Phải biết là mấy khái niệm này, cô đã trầy trật mất cả nửa học kỳ mới hiểu rõ được đấy.
Lý Đông nhìn lồng ngực đang phập phồng của Lộ Dao, trong lòng thấy hơi khó hiểu.
Đàn chị này bị sao thế nhỉ?
Rõ ràng vừa nãy còn dịu dàng lắm mà, sao tự nhiên lại trở nên... dữ dằn thế này?
Lộ Dao giờ đã hơi lên máu rồi.
"Được! Lý thuyết thuộc làu làu rồi nhỉ? Vậy giờ chúng ta thực chiến!"
Cô lôi thẳng từ trong cặp ra cuốn tài liệu ôn tập của mình — "Những vấn đề và phương pháp điển hình trong giải tích toán học".
Cuốn này trong giới luyện thi cao học nổi tiếng là khó nhằn.
"Nào! Giải bài này xem!"
Lộ Dao chỉ vào một bài toán chứng minh tính hội tụ của chuỗi số trên trang sách, nói.
【Cho a_n > 0, và chuỗi số ∑ a_n phân kỳ. Chứng minh: chuỗi số ∑(a_n / S_n^2) hội tụ, trong đó S_n là tổng của n số hạng đầu tiên.】
Lý Đông đọc xong đề bài, cũng hơi khựng lại một chút.
Bài này nếu là trước hôm nay, có lẽ hắn sẽ bị bí.
Nhưng bây giờ thì...
Đây chẳng phải là dùng dạng rời rạc của tiêu chuẩn tích phân sao?
"Sao rồi? Tịt ngòi rồi chứ gì?"
Thấy Lý Đông im lặng, Lộ Dao cuối cùng cũng thấy hả dạ hơn một chút.
Ngay lúc cô đang định cho cái tên đàn em tự mãn này nếm mùi lợi hại của đàn chị thì...
"Bài này cần dùng đến nguyên lý hội tụ Cauchy mở rộng, còn phải..."
"Em nghĩ ra rồi."
Lý Đông cầm bút lên, viết thẳng vào giấy nháp.
"Bài này thực ra không cần phức tạp đến thế đâu."
"Chị xem nhé, a_n = S_n - S_{n-1}."
"Vậy nên số hạng tổng quát a_n / S_n^2 có thể đánh giá lại một chút."
Lý Đông vừa viết vừa lẩm bẩm.
"a_n / S_n^2 < a_n / (S_n S_{n-1}) = (S_n - S_{n-1}) / (S_n S_{n-1}) = 1/S_{n-1} - 1/S_n"
Viết xong dòng này, Lý Đông ngẩng đầu nhìn Lộ Dao.
"Thế là thành phân tách số hạng triệt tiêu nhau rồi.""Tính tổng N số hạng đầu tiên, phần ở giữa triệt tiêu hết, chỉ còn lại 1/S_0 - 1/S_N."
"Vì chuỗi ∑ a_n phân kỳ, nên S_n tiến tới vô cùng, 1/S_n tiến tới 0."